NILAI-NILAI PENGUKURAN 3
|
Oleh:
Vera Syam Yolanda 201266004
Diki Septyan 201466027
Dea Nabilah Safitri 201466036
Rahayu Danar Wigati 201466002
Yohana Melani 201466006
Ryantika Devi F 201466051
|
Kelompok 4
STATISTIK I
SESI - 11
|
NILAI-NILAI PENGUKURAN 3
A. STANDAR DEVIASI
Ukuran variasi adalah ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data berbeda dengan nilai pusatnya atau seberapa jauh penyimpangan-penyimpangan nilai-nilai data dari nilai pusatnya. Dengan demikian, maka ukuran variasi tersebut seringkali disebut juga sebagai ukuran penyimpangan (measure of dispersion). Ukuran variasi ini pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam rangka penggambaran sekumpulan data. Karena ukuran nilai pusat secara terpisah tidaklah dapat menggambarkan keadaan keseluruhan data dengan baik. Ukuran nilai pusat tersebut hanya memberikan informasi tentang sebuah nilai dimana nilai-niilai data yang lain terpencar. [1]
Simpangan baku (standar deviasi) merupakan ukuran variasi yang ketiga dan merupakan ukuran yang paling banyak digunakan orang. Pada perhitungan simpangan rata-rata untuk menghilangkan bilangan negative dan nilai nol dilakukan dengan mengambil nilai mutlaknya maka pada simpangan baku hal itu dilakukan dengan cara mengkuadratkan masing-masing simpangan dari nilai datanya kemudian dibagi dengan banyaknya data dan diakarkan.
1. Data Tunggal
Misalnya kita menghadapi kumpulan data yang tidak dikelompokkan sebagai berikut: X1, X2, X3,…Xn
Maka kumpulan data demikian akan memiliki mean sebagai:
= 
Selanjutnya apabila kita cari penyimpangan setiap nilai data dengan mean nya , maka akan didapatkan (X - ) yang bertanda positif dan bertanda negative. Supaya penyimpangan keseluruhan nilai data yang ada dengan mean tidak bernilai nol, maka masing-masing penyimpangan nilai yang ada perlu dibuat bertanda positif dengan cara dikuadratkan. Hal tersebut bila dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:
) yang bertanda positif dan bertanda negative. Supaya penyimpangan keseluruhan nilai data yang ada dengan mean tidak bernilai nol, maka masing-masing penyimpangan nilai yang ada perlu dibuat bertanda positif dengan cara dikuadratkan. Hal tersebut bila dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:
Bila masing-masing penyimpangan nilai data dengan meannya dikuadratkan, maka akan didapatkan:
Dan selanjutnya bila hal tersebut dibagi dengan jumlah data (n), maka akan didapatkan suatu nilai yang menunjukkan simpangan baku kuadrat dan biasa disebut dengan varian. Bila dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Varian = 
∑
∑
Dalam penentuan besar simpangan baku, kita dapat menggunakan besar simpangan baku kuadrat (varian) sebagai pengarah, yaitu:
Simpangan Baku (S) = 
= 
=
Dengan:
S : simpangan baku
Xi : nilai data ke-i
: nilai rata-rata
: banyaknya nilai data (observasi)
Contoh:
Hitunglah simpangan baku dari data berikut:
7 6 6 7 8 5 6 8 7
Jawab:
= 
= 
(6 + 7 + 6 + 6 + 7 + 8 + 5 + 6 + 8 + 7) = . 66 = 6.6
Untuk mencari simpangan bakunya dapat dibuat tabel seperti berikut:
 |  |  |
6
|
-0.6
|
0.36
|
7
|
0.4
|
0.16
|
6
|
-0.6
|
0.36
|
6
|
0.6
|
0.36
|
7
|
0.4
|
0.16
|
8
|
1.4
|
1.96
|
5
|
-1.6
|
2.56
|
6
|
-0.6
|
0.36
|
8
|
0.4
|
1.96
|
7
|
0.4
|
0.16
|
8.4
|
Variasi = 
= 
= 0.84
= = 0.84
Simpangan baku:
2. Data kelompok
Dengan anggapan bahwa nilai-nilai dalam kelas akan berdistribusi rata sepanjang kelas, maka nilai tengah kelas merupakan nilai yang representatif bagi keseluruhan nilai dalam kelas tersebut. Maka untuk menentukan besar varian dan simpangan baku data yang dikelompokkan adalah:
Varian = 
dan
dan
Simpangan Baku (S) = 
Dengan:
: nilai tengah pada kelas ke-i : nilai rata-rata (mean)
: frekuensi pada kelas ke-i
: banyaknya nilai data
: banyaknya kelas
Apabila kita ingin menggunakan metode singkat untuk menentukan simpangan baku kumpulan data yang telah dikelompokkan, maka dapat menggunakan:
Perhitungan simpangan baku data yang telah dikelompokkan dapat dilihat pada contoh dibawah ini:
BeratBadan (KG)
|
Mahasiswa (f)
|
m
|
m.F
|
m -
|
(m -
 |
(m -
 |
60-69
|
9
|
64.5
|
580.5
|
17.24
|
297.15
|
2674.37
|
70-79
|
32
|
74.5
|
2384
|
7.24
|
52.39
|
1676.48
|
80-89
|
43
|
84.5
|
3633.5
|
2.76
|
7.63
|
328.01
|
90-99
|
21
|
94.5
|
1984.5
|
12.76
|
162.87
|
3420.19
|
105
|
8582.5
|
520.04
|
8099.05
|
Bila X = 81.74 (telah dihitung pada contoh sebelumnya) maka nilai simpangan bakunya sebesar:
B. VARIAN
Varians didefinisikan sebagai rata-rata dari skor penyimpangan kuadrat. Untuk mencari varians, dibedakan antara varians populasi yang dilambangkan dengan (σ2) dengan varians sample yang dilambangkan dengan (s2).
Untuk varians populasi, dapat dicari dengan rumus:
Dimana:
µ = rata-rata populasi
N = total jumlah populasi Adapun varians untuk sample dapat dicari dengan rumus yang sama namun mengurangkan N dengan 1 sebagai berikut:
Dimana :
s = rata-rata sample
n = jumlah sampel yang digunakan untuk lebih memperjelas, baiklah kita coba dengan menghitung varians untuk populasi jika kita memiliki data pengukuran tentang nilai 5 siswa pada mata pelajaran matematika sebagai berikut:
7 7 9 8 6
Untuk menghitung varians dari data di atas maka kita harus mencari dahulu berapa mean (rata-rata) dari.
Dengan rata-rata 6,9 maka kita tinggal memasukkan data di atas sebagai berikut:
Dengan varian sebesar 1,3 maka untuk mencari standar deviasi kita tinggal mengakar kuadratkan 1,3 yang akan menghasilkan 1,14. Karena varian adalah ukuran keberagaman data, maka semakin besar angkat varians maka semakin beragamlah data yang kita miliki dan semakin kecil nilai varians maka semakin homogenlah data yang kita miliki.
Nah, jika seandainya nilai varians yang kita miliki ternyata adalah 0, maka dapat disimpulkan bahwa dalam populasi atau sampel yang kita miliki tidak terdapat variabilitas. Keadaan demikian dapat terjadi jika sekor untuk setiap sampel/populasi adalah sama.
Selain rumus di atas, kita juga dapat menggunakan rumus-rumus lain untuk mencari varians. Pada dasarnya, pemilihan rumus yang digunakan tergantung pengguna yang merasakan rumus manakah yang paling mudah digunakan. Rumus-rumus yang lain tersebut diantaranya adalah: Untuk varians sampel:
C. KOEFISIEN VARIASI
Formulasi koefisien variasi adalah ;
x 100%
Dimana S = Deviasi standar, dan = Rata-rata (mean)
Koefisien variasi dinyatakan dalam persentase, maka ukuran ini dapat digunakan untuk perbandingan suatu data yang mempunyai satuan berbeda. Penerapan dalam bisnis, semakin besar koefisien variasi berarti semakin besar resiko penyimpangan. Sebaliknya, jika koefisien variasi semakin kecil, makan semakin kecil pula tingkat resiko penyimpangan terjadi. Berarti dipilih tingkat risiko penyimpangan terkecil.
Contoh :
Seorang mahasiswa melakukan pengukuran tingkat variabilitas terhadap daya nyala tiga merek lampu yang nantinya akan dipilih satu merek dijadikan langganan untuk dipasarkan, yaitu merek Sinar, Pancar, dan Terang, di mana masing-masing diambil 5 lampu sebagai sempel. Hasil sebagai berikut:
Lampu ke
|
Daya Nyala (hari)
| ||
Sinar
|
Pancar
|
Terang
| |
1
|
25
|
15
|
31
|
2
|
20
|
21
|
25
|
3
|
35
|
30
|
19
|
4
|
31
|
42
|
17
|
5
|
27
|
50
|
28
|
Mahasiswa tersebut sebaiknya harus memilih merek yang mana untuk berlangganan guna dipasarkan?
Jawab:
Merek Sinar
Merek Pancar
Merek Terang
Perbandingan koefisien variasi lampu:
Merek Sinar : merek Pancar : merek Terang = 20,76% : 45,78% : 24,65%. Dengan demikian mahasiswa tersebut lebih baik memilih tingkat variabilitas yang terkecil yaitu merek Sinar, karena daya nyalanya lebih merata dibandingkan lainnya. Tetapi jika pemilihan merek lampu tersebut didasarkan pada rata-rata daya nyala, harus memilih lampu merek pancar, sebab rata-rata daya nyala lampu terlama/terpanjang dibandingkan merek lainnya yaitu 31,6 hari[5]
D. RANGE
Rentang data (range) adalah suatu angka yang menunjukan tingkat variasi kelompok. Angka ini diperoleh dari selisih dari data yang terbesar dikurangi data kecil dari kelompok yang sama.
Rumus rentang data : R = 
Ket :
R = rentang
= data terbesar dalam kelompok
= data terkecil dalam kelompok
Contoh :
Diketahui sebanyak 38 makasiswa yang mengikuti ujian statistic, dengan mendapat nilai bervariasi, seperti terlihat pada data berikut :
50
|
66
|
79
|
69
|
78
|
87
|
57
|
67
|
70
|
65
|
87
|
79
|
67
|
64
|
58
|
45
|
72
|
95
|
89
|
78
|
78
|
68
|
79
|
85
|
74
|
57
|
60
|
73
|
58
|
77
|
78
|
74
|
59
|
79
|
75
|
64
|
89
|
85
|
Nilai (data) kecil = 45
Nilai (data) besar = 95
Jadi rentang R = 95 - 45 = 50
Jadi rentang nilai dari 38 orang mahasiswa yang mengikuti ujian statistic adalah sebesar 50.
Rentang data inilah yang menunjukan variasi kelompok. Rentang nilai R ujian epidemiologi Y, dst.[6]
E. INTERKUARTIL
Range inter-kuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama.
Jarak inter-kuartil = kuartil ketiga –kuartil pertama = K3 - K1
Kuartil adalah ukuran yang membagi data mnjadi 4 (25%) bagian yang sama. Dalam gambaran sederhana dapat disajikan sebagai berikut :
. . . . .
1 2 3……………………………………………………………………n
75% 25%
25% 75%
K1 K2 K3
……………………………………………………………..
50%
Kuartil 1 (K1) membatasi 25% data berada di bawahnya dan 75% berada diatasnya. Kuartil 3 (K3) membatasi 25% berada diatasnya dan 75% berada di bawahnya. Oleh sebab itu, range inter-kuartil yaitu (K3-K1) sama dengan 50% data yang dapat pula berasal dari (K2-K1) dan (K3-K2). Jarak inilah yang merupakan ukuran penyebaran.
Contoh :
Berdasarka data, yaitu 20 saham perusahaan pilihan di BEJ, diketahui bahwa nilai saham terkecil adalah Rp. 160, nilai saham tertinggi adalah Rp. 875. Kuartil 1 K1 = 375, Kuartil 2 (K2) = 550, dan Kuartil 3 (K3) = 575. Hitunglah jarak inter-kuartilnya!
Penyelesaian :
 |
160…………….370……..………550…..…………..575….…………..875
25% K1 25% K2 25% K3 25%
Jarak inter-kuartil = K3 - K1 = 575 – 370 = 205
Jadi 50% perusahaan, harga sahamnya berkisar antara 370-575 dengan jarak inter-kuatilnya 205.
Apa yang dapat disimpulkan dari data inter-kuatil :
a. Nilai inter-kuatil yang lebih kecil menunjukkan bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompokkan ke nilai rata-rata hitung, serta seragam dibandingkan dengan nilai inter-kuatil yang lebih besar.
b. Nilai inter-kuatil yang kecil juga menunjukkan bahwa nilai rata-rata data dibandingkan dengan nilai inter-kuatil yang besar.
Sebagai contoh, berdasarkan informasi harga saham di Harian Indopos 20 Juni 2007. Harga saham rata-rata sector perbankan 393, sedangkan nilai K1 = 88, K2 = 176 dan K3 = 525. Harga saham sektor perumahan 162, sedang K1 = 35, K2 = 58, dan K3= 118. Nilai inter-kuatil sector perbankan K3 - K1 = 525 – 88 = 436, sedangkan sector perumahan 118 – 35 = 83. Jadi dapat disimpulkan bahwa kinerja sector perumahan lebih seragam disbandingkan dengan sector perbankan, dan nilai saham sector perumahan lebih mewakili data saham keseluruhan sector perumahan diandingkan dengan sector pebankan. Mengapa? Karena deviasi harga saham sector perbankan jauh lebih besar dari sector perumahan.[7]
F. MEAN DEVIASI
Devasi rata-rata mengukur besarnya variasi atau selisih dari setiap nilai dalam populasi atau sampel dari rata-rata hitungnya. Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Bentuk rumus deviasi rata-rata yang disingkat dengan MD (mean deviation) atau ada juga yang menyingkat AD (average deviation) adalah sebagai berikut:
1. Deviasi Rata-rata tunggal
MD = ∑│X-│/n
│/n
Dimana:
MD : deviasi rata-rata
X : nilai setiap data pengamatan
: nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan
n : jumlah data atau pengamatan dalam sampel/populasi
∑ : lambang penjumlahan
: lambang nilai mutlak
Menggunakan nilai mutlak karena kumlah dari selisih nilai data dengan nilai hitung rata-rata sama dengan nol, (∑Xi-) = 0. Ukuran yang nilainya nol tentunya tidak berarti banyak. Oleh sebab itu, digunakan nilai mutlak nilai yang mengabaikan tanda negatif.
) = 0. Ukuran yang nilainya nol tentunya tidak berarti banyak. Oleh sebab itu, digunakan nilai mutlak nilai yang mengabaikan tanda negatif.
Contoh :
Hitunglah deviasi rata-rata dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia.
Bagaimana pendapat anda?
Tahun
|
Pertumbuhan Ekonomi (%)
| |
Negara Maju
|
Indonesia
| |
1994
|
3,2
|
7,5
|
1995
|
2,6
|
8,2
|
1996
|
3,2
|
7,8
|
1997
|
3,2
|
4,9
|
1998
|
2,2
|
-13,7
|
1999
|
2,0
|
4,8
|
2000
|
2,3
|
3,5
|
2001
|
2,1
|
3,2
|
Penyelesaian :
a. Langkah pertama adalah menghitung nilai rata-rata hitung dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia.
b. Langkah kedua mengurangkan setiap data dengan nilai rata-rata.
c. Langkah ketiga membuat harga mutlak setiap deviasi pada langkah kedua.
d. Langkah keempat menjumlahkan nilai mutlak dar deviasi dan membaginya dengan jumlah data.
Hasil deviasi rata-rata untuk negara maju adalah sebagai berikut:
Tahun
|
X
|
│X-
│ |
Nilai Mutlak
|
1994
|
3,2
|
│0,6│
|
0,6
|
1995
|
2,6
|
│0,0│
|
0,0
|
1996
|
3,2
|
│0,6│
|
0,6
|
1997
|
3,2
|
│0,6│
|
0,6
|
1998
|
2,2
|
│-0,4│
|
0,4
|
1999
|
2,0
|
│-0,6│
|
0,6
|
2000
|
2,3
|
│-0,3│
|
0,3
|
2001
|
2,1
|
│-0,5│
|
0,5
|
Jumlah
|
∑X = 20,8
|
∑│X-
│= 3,6 | |
Rata-rata
|
∑X/n = 2,6
|
∑│X-
│/n = 0,5 |
a. Penjumlahan dari data X berupa pertumbuhan ekonomi negara maju mendapatkan nilai 20,8. Apabila nilai tersebut dibagi dengan n=8, maka didapat 2,6 sebagai nilai hitung rata-rata ().
).
b. Langkah kedua mengurangkan setiap data dengan nilai hitung rata-rata. Misalkan tahun 1994, 3,2 -2,6 = │0,6│, dan seterusnya sampai tahun 2001, 2,1-2,6 = │-0,5│.
c. Langkah ketiga membuat harga mutlak, nilai negatif menjadi positif seperti tahun 1988, │-0,4│= 0,4.
d. Langkah keempat menjumlahkan nilai harga mutlak daro 0,6 tahun 1994 sampai 0,5 tahun 2001, dan nilai penjumlahan ini ∑│X-│= 3,6. Untuk mendapatkan deviasi rata-rata, nilai penjumlahan dibagi dengan jumlah data, ∑│X-│/n= 3,6/8=0,5.
│= 3,6. Untuk mendapatkan deviasi rata-rata, nilai penjumlahan dibagi dengan jumlah data, ∑│X-│/n= 3,6/8=0,5.
Jadi nilai deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi negara maju adalah 0,5.
Untuk menghitung deviasi pertumbuhan ekonomi Indonesia dapat dilakukan dengan cara yang sama, sehingga hasilnya sebagai berikut:
Tahun
|
X
|
│X-
│ |
Nilai Mutlak
|
1994
|
7,5
|
│4,2│
|
4,2
|
1995
|
8,2
|
│4,9│
|
4,9
|
1996
|
7,8
|
│4,5│
|
4,5
|
1997
|
4,9
|
│1,6│
|
1,6
|
1998
|
-13,7
|
│-17,0│
|
17,0
|
1999
|
4,8
|
│1,5│
|
1,5
|
2000
|
3,5
|
│0,2│
|
0,2
|
2001
|
3,2
|
│-0,1│
|
0,1
|
Jumlah
|
∑X = 26,2
|
∑│X-
│= 34,0 | |
Rata-rata
|
∑X/n = 3,3
|
∑│X-
│/n = 4,3 |
Jadi deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi Indonesia sebesar 4,3% dari rata-rata hitung pertumbuhan ekonomi sebesar 3,3%.
Deviasi rata-rata mempunyai kelebihan dibandingkan dengan ukuran range, karena deviasi rata-rata menggunakan seluruh data yang terdapat pada sampel atau populasi. Namun, demikian, ukuran deviasi rata-rata juga mempunyai kekurangan yaitu pemakaian nilai mutlak yang relatif sulit. Oleh karena itu, biasanya digunakan ukuran yang lebih baik lagi, yaitu deviasi standar. [8]
2. Deviasi rata-rata kelompok
Deviasi rata-rata untuk data kelompok dirumuskan sebagai berikut:
MD = ∑f│X-│n
│n
Dimana:
MD : deviasi rata-rata (mean deviasi)
F : jumlah frekuensi setiap kelas
X : nilai setiap data pengamatan
: nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan
n : jumlah data atau pengamatan dalam sampel
∑ : lambang penjumlahan
││ : lambang nilai mutlak
Jangan lupa untuk nilai rata-rata hitung data berkelompok adalah:
= ∑fX/n
Contoh:
Berikut adalah data yang sudah dikelompokan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah deviasi rata-rata dari data berkelompok tersebut!
Kelas ke-
|
interval
|
Jumlah frekuensi (f)
|
1
|
160-303
|
2
|
2
|
304-447
|
5
|
3
|
448-591
|
9
|
4
|
592-735
|
3
|
5
|
736-878
|
1
|
Penyelesaian :
a. Menghitung nilai tengah kelas. Untuk memperoleh nilai tengah data (X), maka nilai tengah kelas dikalikan dengan frekuensi maisng-masingkelas (fX). Jumlah dari perkalian antara frekuensi dengan nilai tengah kelas dibagi dengan jumlah data mendapatkan nilai rata-rata hitung data berkelompok (∑fX/n).
b. Langkah kedua menghitung deviasi setiap kelas dengan cara mengurangkan nilai tengah kelas dengan nilai rata-rata hitungnya (│Xi-│)
│)
c. Langkah ketiga mengalikan frekuensi dengan deviasi setiap kelas f│Xi-│
│
d. Menjumlahkan hasil perkalian frekuensi dengan deviasi setiap kelas kemudian membaginya dengan jumlah data (n).
Langka-langkah disajikan dalam bentul tabel sebagai berikut:
interval
|
Titk tengah
|
Jumlah frekuensi (f)
|
f.X
|
│X-
│ |
f│X-
│ |
160-303
|
231,5
|
2
|
436,0
|
-259,2
|
518,4
|
304-447
|
375,5
|
5
|
1.877,5
|
-115,2
|
576,0
|
448-591
|
519,5
|
9
|
4.675,5
|
28,8
|
259,2
|
592-735
|
663,5
|
3
|
1.990,0
|
172,8
|
518,4
|
736-878
|
807,5
|
1
|
807,0
|
316,3
|
316,3
|
∑f.X= 9.813,5 dan ∑f│X-│= 2.188,3
│= 2.188,3
a. rata-rata = ∑fX/n =9.813,5/20= 490,7
rata-rata = ∑fX/n =9.813,5/20= 490,7
[1] Meilia Nur Indah Susanti,Statistik Deskriptif dan Induktif, Graha Ilmu Yogyakarta 2010, hal 119-120
[2] Ibid hal 132-134
[3] Ibid hal 136-137
[4] Suharyadi, dan S. K. Purwanto, Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Moderrn , (Jakarta: Salemba Empat, 2009) hal. 92
[5] (Drs. Danang sunyoto, SE., SH., MM. Aplikasi SPSS untuk Statistik Ekonomi dan Bisnis . Yogyakarta, penerbit CAPS, 2011 . hlm 47 )
[6] Drs. Moch Imron TA, MM, MBA, 2010, STATISTIKA KESEHATAN, penerbit : Sagung Seto ;hal 48
[7] (Suharyadi, Purwwanto S.K, op.cit,hal 121-122.
[8] (Suharyadi, Purwwanto S.K, op.cit, hal 103-105.
[9] (Suharyadi, Purwwanto S.K, op.cit, hal 112-113.
