TEORI ESTIMASI

TEORI ESTIMASI

Oleh: Diki Septyan 201466027 Dea Nabilah Safitri 201466036 Rahayu Danar Wigati 201466002 Yohana Melani 201466006 Ryantika Devi F 201466051

Kelompok 4 STATISTIK I SESI - 11

A.     DISTRIBUSI POISSON

Di dalam mempelajari distribusi binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabe random diskrit yang jumlah trialnya kecil (daftar binomial). Kalau ada suatu kejadian dengan probabilitas <<< dan menyangkut kejadian yang luas n >>> maka distribusi binomial tidak mampu lagi menentukan peluang variabel diskrit tersebut. Di sini distribusi Poisson dapat dipakai untuk menjelaskannya.

Distribusi poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.

Contoh:

1.      Di suatu gerbang tol yang dilewati ribuan mobil dalam satu hari akan tejadi kecelakaan dari sekian banyak mobil yang lewat.

2.      Dikatakan bahwa kejadian seseorang akan meninggal karena shock pada waktu disuntik vaksi meningitis 0,0005. Padahal, vaksinasi tersebut selalu diberikan kalau seseorang ingin pergi haji.

Distribusi Poisson  merupakan fungsi probabilitas:

            μ=𝛌=n p= E (x) à nilai rata-rata

            e = konstanta = 2,71828

            x = variabel random diskrit (1,2,...,x)

            Contoh :

Seperti contoh di atas diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksi meningitis adalah 0,0005. Kalau disuatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4.000. hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!

            Penyelesaian:

μ=𝛌 = n p = 4000 x 0,0005= 2

Penyelesaian ini dapat juga memakai tabel distribusi poisson

Baris    = μ=𝛌

Kolom             = X

Pada kasus kejadian binomial b (x, n, p) diaman n cukup besar dan p tidak terlalu kecil (tidak medekati 0 ... 1) tidak dapat disesuaikan dengan distribusi binomial ataupun poisson. Untuk itu dilakukan pendekatan memakai distribusi normal (Gauss).

B.     DISTRIBUSI NORMAL (Gauss)

Distribusi normal merupakan distribusi statistik yang amat penting. Distribusi ini pertama kali ditemukan oleh matematikawan asal Prancis, Abraham Demoivre  pada tahun 1733.

Berikut rumus eksponensial untuk distribusi normal:

Ciri khas distribuso normal

Distribusi probabilitas untuk variabel kontinu dengan puncak distribusi berada pada mean dan bentuk distribusi simetris, yang ditentukan oleh simpang bakunya, memiliki ciri sebagai berikut:

    Simetris

    Seperti lonceng

    Titik belok μ ±

    Luas dibawah kurva = probability =1

Fungsi atau f(x) distribusi kontinu akan selalu dapat dicari dengan persamaan fungsi kurva normal (secara integral), tetapi hal ini tidak praktis. Agar lebih praktis, telah ada tabel kurva normal dari suatu nilai yang dibatasi nilai tertentu.

Kurva normal standar mempunyai μ=0 dan = 1, di mana N (0,1).

C.     PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL KE DISTRIBUSI NORMAL

Di dalam mempelajari probabilitas suatu peristiwa yang jumlah (n) nya kecil dan nilai probabilitasnya antara 0-1, dilakukan perhitungannya memakai distribusi binomial, dan pada saat n sangat besar dan p kecil seklai perhiungannya kita pakai distribusi poisson. Apabila n cukup besar ( contoh n=100) sedang p antara 0-1, maka dapat dilakukan pendekatan distribusi normal. Suatu contoh probabilitas seorang suatu hari di puskesmas “PQR” dikunjungi 30 ibu hamil. Hitunglaj probabilitas dari ibu hamil tersebut yang menderita anemia:

1.      Kurang dari 10 orang

2.      Lebih dari 15 orang

Dari permasalahan di atas kita dapat menyelesaikannya dengan distribusi normal atau memperlakukan data distribsi diskrit tersebut dengan distribusi kontinu. Distribusi normal mempunyai dua parameter, yaitu rata-rata dan simpangan baku. Untuk data kategori ini nilai miean =np dan standar deviasi.

Mean = np      

Dari contoh permasalahan di atas kita ketahui:

N = 30

P= 0,4

Q = 1-0

1.      P(x<10) ditransformasikan ke nilai Z =

Jadi p(x<10) = 0,5 – 0,2703 = 0,2297

2.      P(x>15) ....

Jadi p(x>15) = 0,5-0,3665 = 0,1335

Untuk persyaratan distribusi binomial ke distribusi normal adalah apabila np 5 atau nq  5.[1]

---

[1] Luknis Sabri;Sutanto Priyo Hastono, Statistik Kesehatan, (Depok: PT. Rajagrafindo Persada, 2014), hal. 64-70 

BENTUK ESTIMASI

BENTUK ESTIMASI

Oleh :

Rahayu Danar Wigati    2014 66 002

Diki Septyan                  2014 66 027

Dea Nabilah Safitri        2014 66 036

Yohana Melani              2014 66 006

Ryantika Devi F            2014 66 051

Kelompok 4

Statistik 1

SESI II

1.                PENDAHULUAN

Telah dijelaskan bahwa walaupun kita hanya mengambil sampel, sebenarnya kita ingin mengetahui nilai populasi. Dalam teorama limit pusat dinyatakan bahwa distribusi sampling terjadi kalau sampel diambil berulang kali. Dalam kenyataan sehari-hari tidak mungkin kita melakukan pengambilan sampel berulang kali. Selain tidak mudah, kita melakukan pengambilan sampel berulang kali. Sealin tidak mudah, juga[i] mungkin tidak perlu karena memakaikan sifat-sifat teorema tersebut kita dapat  melakukan estmasi atau perkiraan terhadap nilai populasi.

Estimasi adalah suatu metode dimana kita dapat memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik)

2.                CIRI-CIRI ESTIMATOR YANG BAIK

Di dalam estimasi nilai statistik yang dipakai untung menduga nilai populasi atau parameter disebut estimator. Hasil dari pendugaan disebut estimasi secara statistik (statistical estimate). Estimator yang baik haruslah mempunyai sifat : tidak bias, efisien, dan konsisten

Estimator yang tidak bias adalah estimator yang hasil estimasinya mengandung nilai parameter diestimasi. Dikatakan efisien apabila hasil estimasi memakai nilai terseut pada rentang yang kecil saja sudah mengandung nilai parameter. Sementara itu, yag dimaksud dengan konsisten adalah berapa pun besarnya sampel pada rentangnya akan mengandung nilai parameter yang sedang diestimasi.

3.                BENTUK ESTIMASI

Dalam menduga nilai parameterkita dapat melakukan dua macam pendugaan berikut :

1.                 Estimasi Titik

Nilai statistik (nilai-nilai) sampel digunakan sebagai pendugaan nilai parameter karena nilai-nilai ini merupakan estimator yang baik untuk menduga atau mengestimasi nilai parameter.

Misalnya, nilai mean sampel kita anggap sebagai nilai mean populasi.

            µ diestimasi sama dengan  x

            s diestimasi sama dengan o

 Sebagai contoh ,dari suatu penilitian terhadap suatu sampel ibu hamil di Kab Cianjur dari 210 ibu didapatkan Hb rata-rata 7,5 gr%. Kalau kita menduga kadar Hb ibu hamil di daerah

[1]

Contoh :

      Dari suatu sampel random sebanyak 100 orang ibu hamil yang diambil di Kabupaten Cianjur didapatkan Hb (Hemoglobin darah) = 95gr%. Simpangan baku di dalam populasi 5gr%. Dengan confiden interval 95% akan dihasilkan kadar Hb ibu hamil di Kabupaten Cianjur adalah :

X mean sampel =  9,6 gr%

n sampel                              =  100

o                                             =  5 gr%

SE                                           =  5/√100 = 0,5 gr%

CI                                            = 95%....Z = 1,96 (lihat tabel kurva normal….. lampiran I)

9,5 gr% - 1,96 x 0,5 gr% ≤ µ ≤ 9,5 gr% + 1,96 x 0,5 gr%

                             8,5 gr% ≤ µ ≤ 10,48 gr%

Artinya :

2.                  Kita yakin 95% bahwa Hb ibu hamil di Cianjur terletak antara 8,52 gr% sampai 10,48 gr%

3.                  Kalau kita ambil berulang kali sampel yang besarnya 100 ibu diaerah itu, maka 95% dari mean sampel-sampel tersebut berada pada nilai 8,52 gr% sampai 10,48 gr%.

Dengan estimasi interval kita mengakui bahwa dengan confiden interval 95%, 90%, ataupun 99% kebenaran taksiran ini benar. Dengan kata lain, jujur kemungkinan (peluang) salah adalah 100% - 95% = 5% atau 10% atau 1% (dikenal sebagai α).

Didalam cotoh diatas dinyatakan simpangan baku didalam populasi (o) diketahui. Biasanya kalau kita mengambil suatu sampel jarang simpangan baku populasi diketahui. Kalau sampel yang diambil ibu hamil di Cianjur tersebut tidak 100 ibu, tetapi 25 ibu saja dan o tidak diketahui. Dalam hal o tidak diketahui maka distribusi sampling kita asumsikan berdistribusi seperti distribusi “student, t” dimana untuk menentukan “t” diperlukan, disamping α juga derajat kebebasan (degree of freedom) yang besarnya n-1..

Dengan demikian, rumus umum menjadi :

 

[2]

Contoh :

     Kalau semua dari 25 ibu hamil yang diambil secara random di dapatkan kadar Hb = 9 gr%, simpangan baku sampel 7,7% gr%, Maka, nila pendugaan akan menjadi :

     X       = 9 gr%

     s           = 7,7 gr%

     n          = 25 ibu

     SE       = 7,7 / √25 = 1,54 gr%

     CI        = 95% alfa = 5%, df = 25-1 = 24…..t= 2,064

     9 gr% - 2,064 x 1,54 gr% ≤ µ ≤ 9 gr% + 2,064 x 1,54 gr%

                             5,82 gr%   ≤ µ ≤ 12,19 gr%

Dengan ini kita akan menyatakan kadar Hb ibu hamil di Kabupaten Cirebon berada pada 5,82 gr% ; 12,19 gr% (CI 95%).

Rentang interval dapat dipersempit dengan tiga cara :

4.                  Memperkecil confiden interval, misalnya dari 95% menjadi 90%

5.                  Memperbesar n ( besar sampel)

6.                  Meningkatkan ketelitian sehingga didapatkan varian sampel yang kecil.

[3]

4.    TITIK ESTIMASI PROPORSI SAMPLE TERHADAP PROPORSI POPULASI

Contoh :

Bila kita ingin mengetahui persentase penduduk suatu kota yang menderita keratitis. Untuk itu kita ambil sample sebanyak 100 orang yang berkunjung ke Rumah Sakit Mata dan ternyata terdapat 5 orang yang menderita penyakit keratis. Dari hasil tersebut dibuat taksiran bahwa 5% penduduk kota tersebur menderita keratis dengan perhitungan sebagai berikut ;

Proporsi (p) = x/n

X= jumlah penderita keratitis yang ditemukan

n=besarnya sample

p=5/100

5.    TITIK ESTIMASI JUMLAH CIRI TERTENTU SAMPLE(X’) TERHADAP CIRI TERTENTU DALAM POPULASI

Titik estimasi jumlah ciri tertentudalam variable yang terdapat pada sample digunakan untuk mengadakan estimasi terhadap jumlah ciri tersebut dalam populasi.

Dengan :

 = jumlah katagori dalam variable

  = n/N

 banyaknya smaple

= besarnya pupulasi[ii]

 jumlah outcome kategori yang ingin kita ketahui jumlahnya

Misalnya kita ingin mengetahui jumlah pengunjung wanita yang terdapat disuatu rumah sakit. Diketahui jumlah penderita yang berkunjung sebanyak 500 orang /minggu. Dari jumlah tersebut diambil sebanyak 50 orang sebagai sampel dan dari 50 orang tersebut terdapat 10 orang penderita wanita.

f = n/N = 50 / 500 = 1/10

n’ = 1 (50/500) x 10 = 100

100 orang pengunjung wanita digunakan sebagai titik estimasi terhadap 100 orang berobat kerumah sakit. Dengan kata lain di estimasikan bahwa dari 500 orang yang berobat keruah sakit tersebut di antaranya wanita

---

[1] Luknis Sabri, Sutanto Priyo Hastono, Statistik Kesehatan(Jakarta : Rajawali Pers, 2006)

Halaman 79 - 82

[2]Ibid, Halaman 82 - 83

[3]Ibid , Halaman 83 – 84

---

4 Dr. Eko Budiarto, SKM, Biostatistika untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat, (Jakarta : Penerbit Buku Kedokteran, 2001) Halaman : 161