|
|
|
KONSEP PROBABILITAS 1
|
|
Oleh:
Vera Syam Yolanda 201266004
Diki Septyan 201466027
Dea Nabilah Safitri 201466036
Rahayu Danar Wigati 201466002
Yohana Melani 201466006
Ryantika Devi F 201466051
|
|
Kelompok 4
STATISTIK I
SESI - 11
|
|
|
|
|
|
|
A.
Pengertian
Probabilitas
Probabilitas untuk keluarnya mata
satu dalam pelemparan satu kali sebuah dadu adalah seperenam (1/6). Berapakah
probabilitas seorang buruh yag bekerja pada suau pabrik dengan ruang kerja yang
nilai ambang batas debunya sudah melebihi ketentuan? Berapa peluang seseorang akan mengalami
kecelakan saat melakukan pekerjaan di suatu work shop alat berat? Berapa
peluang seorang anak yang sudah diimunisasi dengan BCG akan mendapatkan sakit
TBC? Kata-kata demikian sepertinya sudah biasa dalam kehidupan sehari-hari dan
di dalam permasalahan kesahatan masyarakat.
Di dalam statistik dikenal
beberapa konsep peluang atau probabilitas yang berbeda antara satu dengan yang
lainnya, tetapi semuanya dipakai di dalam memahami arti probabilitas.
B.
Konsep-konsep
Probabilitas
1.
Pandangan
Klasik/Intuitif
Di dalam pandangan klasik ini
probabilitas /peluang adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar
kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseruluhan peristiwa yang
mungkin terjadi :
Contoh :
a.
Sebuah
uang mata logam mempunyai sisi dua (H dan T), kalau mata uang tersebut
dilambugkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.
b.
Sebuah
dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah
1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).
Jadi, pendekekatan di dalam
konsep klasik ini adalah matematis atau teoritis sehingga di dapatkan rumus :
 |
P
= Probabilitas
E
= Event
X
= Jumlah kejadian yang diinginkan
(peristiwa)
N
= Keseluruhan kejadian yanh
mungkin terjadi
Contoh :
Didalam suatu pabrik (work shop) ada 30 wanita dan
70 laki-laki. Sehabis makan siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan apakah makanan tadi cukup baik. Untuk
itu akan diundi (diacak) siapa orang yang akan ditanyakan pendapatnya.
Probabilitas akan terampil seorang buruh wanita adalah 30/100 p (0,3).
Pandangan klasik ini walaupun
perhitungannya tepat harus mempunyai syarat-syarat tertentu seperti kalau itu
dadu maka dadu itu harus seimbang. Jadi, dalam peristiwa di alam sebenarnya
sukar mendapatkan peristiwa yang persis sama denga teori klasik diatas.
2.
Pandangan
Empiris/Probabilitas Relatif
Dalam pandangan ini
probabilitas berdasarkan observasi, penagalaman, atau kejadian (peristiwa) yang
telah terjadi.
Contoh :
·
Pelemparan 100 x coin 59 x keluar sisi H, maka
dikatakan P (H) = 59%
Pelemparan 100 x coin 59 x keluar sisi H, maka
dikatakan P (H) = 59%
·
Dari 10.000 hasi suatu produksi, 100 rusak P (rusak) = 1% = 0,01
Dari 10.000 hasi suatu produksi, 100 rusak P (rusak) = 1% = 0,01
·
Distribusi
relative
|
Upah (Rp. 1000)
|
Jumlah
|
%
|
|
200 – 499
|
90
|
30
|
|
500 – 749
|
165
|
55
|
|
750 – 999
|
45
|
15
|
Kalau
diambil secara acak satu orang probabilitas untuk terambil seseorang yang
mempunyai upah antara 200 – 499 ribu rupiah adalah p (0,3).
|
Pandangan klasik
Hubungan antara hubungan klasik
dan pandangan empiris
|
3.
Pandangan Subjektif
Di dalam panadangan subjektif
probabilitas ditentukan oleh pembuat
peryataan, misalnya serang buruh/karyawan meyakini bahwa kalau ada kesempatan
untuk pendidikan lanjut, yang akan dikirim adalah dirinya (misal diyakininya
95% = 0,95).
Seorang direktur rumah sakit
menyatakan keyakinannya (90%) bahwa rumah sakit yang dipimpinnya akan dapat
swadana (break event point) lima
tahun depan.
Kebenaran dari probabilitas
subjektf ini sangat tergantung kepada orang yang menentukannya, tetapi walaupun
demikian teori probabilitas dapat pembantunya.
D.
Unsur-unsur
Probabilitas
Untuk membantu kita melihat dan
menilai karakteristik pokok sekumpulan data, kita telah mempelajari bagaimana
menyajikan dan meringkas data. Tujuan utama kita mempelajari data tidak hanya
untuk menyajikan dan meringkas data, tetapi juga untuk melakukan analisis agar
dapat menyerap informasi yang terkandung di dalam sampel data itu dan mengambil
kesimpulan terhadap populasi yang merupakan asal-usul sampel tersebut. Dasar
logika dari proses pengambilan inferensi statistic tentang suatu populasi
dengan analisis data sampel adalah probabilitas. Sebagai contoh, probabilitas
yang rendah menunjukkan kecil kemungkinan suau peristiwa akan terjadi.
Dalam mengambil kesimpulan atau
informasi dari sekumpulan data perlu dilakukan percobaan atau sampel. Konsep
probabikitas berhubungan dengan pengertian eksperimen (percobaan) yang
menghasilkan hasil yang tidak pasti. Artinya, eksperimen yang
diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan menghasilkan “hasil” yang dapat berbeda-beda.
Istilah eksperimen yang kita gunakan disini tidak terbatas pada eksperimen
dalam laboratorium, tetapi eksperimen sebagai prosedur yang dijalankan pada
posisi tertentu, di mana kondisi itu dapat diulang-ulang sebanyak kali pada
kondisi yang sama, dan setelah selesai prosedur itu berbagau hasil dapat
diamati. Eksperimen adalah proses pengumpulan data tentang suatu fenomena yang
menunjukkan adanya variasi di dalam hasil.
Beberapa
contoh eksperimen adalah sebagai berikut.
|
Eksperimen
|
Hasil
|
|
1)
Pengukuran
Rx kimia
|
Lama Rx
|
|
2) Interview petani
|
Jumlah produksi padi per Ha
|
|
3) Hasil suatu produksi
|
Adanya produksi yang cacat
|
|
4) Pemberian obat terhadapa penyakit
|
Lama penyembuhan
|
Sering kali tidak hanya tertarik
dengan suatu hasil yang akan terjadi, tetapi apakah hasil tersebut termasuk
dalam “himpunan hasil” tertantu. Berikut beberapa definisi dan contoh yang
sering digunakan dalam proses eksperimen.
1.
Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan yang
elemen-elemennya merupakan hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen.
Ruang sampel ditulis denagn lambang S. Jika suatu eksperimen dimana a1,a2,a3,a4,a5,………….an
menunjukkan semua hasil yang
terjadi, maka ruang sampel dituliskan sebagai berikut.
S = ( a1 , a2 , a3
, a4 , a5 ,………an )
2.
Titik Sampel
Titik sampel adalah semua elemen
yang ada di dalam suatu ruangan sampel, yaitu a1 , a2 ,
a3 , a4 , a5 ,………an
3.
Peristiwa/Kejadian/Event
Peristiwa adalah himpunan bagian
dari suatu ruang sampel. Peristiwa di tulis dengan lambing huruf besar A, B,
dan seterusnya dan dituliskan peristiwa yang mugkin muncul dalam hasil.
Misalnya hanya a2 a4 sebagai hasil peristiwa, maka yang dituliskan
:
A = hasil
yang diterima { a2 a4 }
Contoh penggunaan definisi diatas adalah sebagai berikut.
1)
Eksperimen : Pelemparan sebuah mata dadu
Hasil : mata dadu yang Nampak
Ruang sampel : S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Suatu peristiwa :
A titik ganjil yang tampak { 1, 3, 5}
B titik genap yang tampak { 2, 4, 6}
2)
Eksperimen : Pemilihan seorang mahasiswa FKM, dicatat IPK
Hasil : Bilangan x yang besarnya anatara ) dan 4
Ruang sampel : S = (0 ≥
X ≤ 4)
Suatu peristiwa : A IPK diatas 3….. = {3 <
X ≤ 4}
3)
Eksperimen : Empat pekerja sama-sama terkena pencemaran
(polusi) udara
Hasil : dicatat apakah jadi sakit S atau tidak sakit
T
Ruang sampel : {SSSS, SSST, SSTS, STSS, TSSS,
SSTT, STST, STTS, TSST,
TSTS, TTSS, STTT, TSTT, TTST, TTTS, TTTT}
Suatu peristiwa :
A semua pasien sembuh {SSSS}
B ada dua orang yang sembuh {SSTT, STST,
STTS, TSST,
TSTS, TTSS}
Peristiwa-peristiwa baru dapat di
bentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada dengan menggunakan
tiga operasi dasar, yaitu union, interaksi, dam komplementasi yang timbul dari
penggunaan kata-kata “atau”, “dan”, serta “tidak”. Berikut ini uraiannya lebih
lanjut.
a). Union
peristiwa A dan B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam
himpunan A maupun B, ditulis A B
b). Interaksi
dua peristiwa A dan B, ditulis A ∩ B adalah himpunan semua elemen yang ada
di dalam
A dan juga B
c). Komplemen
peristiwa A ditulis Ac, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam
A
E.
Asas Perhitungan
Probabilitas
Nilai probababilitas yang dilambangkan dengan “P”
berada antara nilai 0 dan 1. Rumusnya adalah sebagai berikut :
0
≤ P
≥ 1
Nilai probabilitas
selalu menghasilkan nilai yang positif, tidak pernah negative.
P (x/n) → bilangan positif ( + )
Misalnya probabilitas keluar angka ganjil dalam
pelemparan dadu P (ganjil/mata dadu) =
3/6
Asas dalam perhitungan
probabilitas memiliki dua macam perhitungan, yaitu hukum pertambahan dan hokum
perkalian. Biasanya dalam hokum pertambahan jika kita memerlukan probabilitas
dalam dua peristiwa, kita menggunakan kata kunci “atau” pada kalimat pernyataan
tersebut. Sebagai contoh, probabilitas untuk keluar mata 2 atau ata 5 pada
pelemparan satu kali sebuah dadu. Sementara itu, hokum perkalian memiliki kata
kunci “dan”. Sebagai contoh, sebuah dadu dan sebuah koin dilambungkan bersama-sama,
berapakah peluang untuk terjadinya hasil lambungan sisi H pada koin dan sisi 3
pada dadu?
Berikut akan dijelaskan lebih
lanjut asas perhitungan probabilitas dengan berbagai kondisi yang harus di
perhatikan.
1.
Hukum Pertambahan
Dalam hokum pertambahan terdapat
dua kondisi yang harus diperhatikan, yaitu apakah kedua peristiwa tersebut
saling meniadakan atau dapat terjadi bersama. Kedua kondisi ini disebut sebagai
peristiwa mutually exclusive ataupun non mutually exclusive.
a.
Kejadian
mutually exclusive (peristiwa saling terpisah = disjoint )
Dua peristiwa dikatakan mutually exlusive apabila
satu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi, atau
dikatakan peristiwa tersebut saling meniadakan.
Contoh kejadian mutually
exclusive adalah sebagai berikut :
1.
Permukaan sebuah koin,
2.
Permukaan dadu,
3.
Kelahiran anak laki-laki dan perempuan pada
seorang ibu dengan kehamilan
tunggal.
Untuk suatu kejadian mutually exclusive, peristiwa terjadinya
A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B (saling asing).
Maka, probabilitas untuk kondisi seperti ini adalah penggabungan kemungkinan
probabilitas keduanya.
Contoh :
1).
Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali
sebuah dadu
adalah :
P
( 2
5) = P (2) + (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6
5) = P (2) + (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6
2). Ada 5
orang kandidat untuk dikirim ke tempat suatu kejadian luar biasa (KLB) diare
(sebut saja A B C D E), tetapi yang akan
dikirim hanya satu orang. Probabilitas
(peluang) D atau E akan dikirim adalah :
P
(D
E) = 1/5 + 1/5 = 2/5
E) = 1/5 + 1/5 = 2/5
b.
Peristiwa
non mutually exclusive (joint)
Dua peristiwa atau lebih daoat terjadi bersama-sama
(tetapi tidak selalu bersama)
Contoh peristiwa non
mutually exclusive adalah sebagai berikut :
1.
Penarikan
kartu as dan berlian
2.
Seorang
laki-laki dan dokter
Untuk peristiwa non mutually exclusive, peristiwa
terjadinya A dan B merupakan gabungan B. Akan tetapi, karena ada elemen yang
sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi
peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian,
probabilitas pada keadaan dimana terdapat elemen yang sama anatar peristiwa A
dan B probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan
dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.
Contoh :
Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge,
peluang akan terambil kartu as atau berlian adalah :
P (as) = 4/52
P (berlian) = 13/52
Ada sebuah kartu as dan berlian : P (as ∩ berlian) =
1/52
P (as berlian ) = P
(as) + P (berlian) – P (as ∩ berlian) =
berlian ) = P
(as) + P (berlian) – P (as ∩ berlian) =
4/52
+ 13/52 - 1/52 =
16/52
Berikut
merupakan gambaran tigas peristiwa yang terjadi antara peristiwa A, B, C,
dimana terdapat beberapa elemen yang sama antara A dan B, A dan C, begitu pula
dengan B dan C. Antara A,B, dan C juga terdapat elemen yang sama sehingga untuk
probabilitas A ditambah probabilitas B ditambah probabilitas C dikurangi
probabilitas elemen yang sama antara A dan B dikurangi elemen yang sama antara
A dan C dikurangi elemen yang sama antara B dan C dikurangi elemen yang sama
antara A, B, dan C.[1]
2. Hukum Perkalian
Dalam hokum perkalian terdapat
dua kondisi yang harus di perhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling
bebas atau bersyarat. Dengan adanya peristiwa bebas dan peristiwa bersyarat,
maka perhitungan probbialitas untuk peristiwa itu adalah hokum perkalian. Hokum
perkalian sebenarnya untuk mengetahui probabilitas peristiwa joint (intersect=
irisan) antara dua peristiwa. Berikut penjelasan dan contoh untuk kedua kondisi
tersebut.
a.
Peristiwa
bebas (independent)
Dua peristiwa dikatan
bebas/independent apabila kejadian atau ketidak jadian suatu peristiwa tidak
mempengaruhi peristiwa lain. Ini perlu di bedakan dengan mutually
exclusive,pada independent suatu kejadian tidak akan mempengaruhi kepada
lainnya, sedangkan pada mutually exclusive, dua kejadian tidak bisa muncul
bersamaan.
Sebagai contoh, sebuah
koin dilabungkan dua kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan
pada pelempar kedua saling bebas.
Contoh soal :
Sebuah dadu dilabungkan
dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:
Sebuah dadu dan sebuah
koin di lambungkam bersama-sama peluang keluarnya hasil lambungan berupa
keluarnya sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah :
b.
Peristiwa
tidak bebas (Conditional Probabiliuty = Peristiwa bersyarat)
Dua kejadian dikatakan
bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak berpengaruh
terhadap peristiwa lainnya. Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan
tarikan kedua tanpa memasukan kembali kartu pertama. Maka, probabilitas kartu
kedua tergantung pada kartu pertama yang ditarik.
Simbol untuk peristiwa
bersyarat adalah P (B/A)....... Probabilitas B pada kondisi A
Probabilitas bersyarat
tidak terdapat pada peristiwa
P(A) = P (A/B)
P(B) = P (B/P)
Contoh soal:
Dua kartu di tarik dari
satu set kartu bridge, peluang yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai
berikut :
Peluang as I adalah 4/52 P(As
I)= 4/52
Peluang as II adalah syarat as I sudah tertarik adalah3/51 P(as II/as I) = 3/51
P(as
I 
as II) = P(as I) x P(as II/as I)
as II) = P(as I) x P(as II/as I)
= 4/52 x 3/51 = 1/221
Joint Probabilitas dan Marginal
Probabilitas
Dalam
keadaan sehari-hari dua variable yang elemennya joint (kejadian joint,patungaan,irisan,interaksi)
dapat disusun dalam table yang disebut table kontingensi (table silang).
Pada
keadaan seperti ini akan terdapat probabilitas joint dan probabilitas marginal.
Table
2.1
|
Umur
|
Wanita
|
Laki-Laki
|
Jumlah
|
|
<30 tahun
|
60
|
50
|
110
|
|
>30 tahun
|
80
|
10
|
90
|
|
jumlah
|
140
|
60
|
200
|
Probabilitas pengunjung wanita adalah
140/200 =0,7 (probabilitas marginal).
Probabilitas pengunujung berumur <30
th adalah110/200 = 0,55 (joint probabilitas= interaksi)
Nilai-nilai dari joint probabilitas dan probabilitas
marginal setelah dihitung berdasarkan pengamatan pada table 2.1 dapat dilihat
Tabel 2.2 dan Tabel 2.3
·
Joint
probabilitas (Tabel 2.2) adalah nilai-nilai yang terdapat pada sel table
0,3;0,25;0,4 dan 0,05. Nilai 0,3 menggambarkan probablitas terdapatnya wanita
yang bverumur di bawah 30 tahun. Nilai 0,25 menunjukan probablitas terdapatnya
pria yang berumur di bawah 30 tahun Nilai 0,4 merupakan probabilitas terdapatnya wanita yang berumur
di atas 30 tahun. Nilai 0,05 menunjukan probabilitas terdapatnya pria yang
berumur di atas 30 tahun.
Tabel
2.2
|
Umur
|
Wanita
|
Laki-laki
|
Jumlah
|
|
<30 tahun
|
O,3
|
0,25
|
|
|
<30 tahun
|
O,4
|
0,05
|
|
|
jumlah
|
|
|
|
·
Marginal
probabilitas (table 2.3) adalah nilai-nilai yang terdapat pada jumlah perkolom
dan perbaris seperti 0,7;0,3;0,55;dan 0,45 Nilai 0,7 menggambarkan probabilitas
pengunjung wanita. Niali 0,3 menunjukan probabilitas pengunjung pria. Nilai
0,55 merupakan probabilitas pengunjung berumur dibawah 30 tahun. Nilai 0,45
menunjukan probabilitas pengunjung adalah di atas 30 tahun.
Tabel
2.3
|
Umur
|
Wanita
|
Laki-laki
|
Jumlah
|
|
<30 tahun
|
|
|
0,55
|
|
<30 tahun
|
|
|
0,45
|
|
jumlah
|
0,7
|
0,3
|
1
|
Probabilitas
bersyarat bukan probabilitas joint
Peluang seorang pengunjung adalah wanita
dengan syarat berumur <30 tahun adalah
P(W|berumur<30tahun)……. Ingat rumus
probabilitas bersyarat
P(AB)= P(A) x P(B|A) P(B|A)=
P(AB)/P(A)
P(wanita berumur <30 th) =
(60/200)/(140/200) = 60/140
F.
Permutasi/Kombinasi
Dalam menghitung probabilitas dari
beberapa kejadian . pertama kita harus mengetahui berapa kemungkinan terjadinya
peristiwa tersebut. Contoh terdapat pada diagram pohon di bwah ini, pada
pelempar 2 kali 2 mata uang.berapa kemungkinan kombinasi dari kedua mata uang
tersebut? H = head T = tail. Pada diagram pohon dibawah ini, Kemungkinan kombinasi
duang mata uang tersebut adalah yang muncul empat macam: HH, HT, TH, TT
Diagram pohon
 |
H T
H T H T
HH HT TH TT
DALIL I: (kaidah umum
perdagangan)
Kalau suatu step (langkah) dalam
suatu eksperimen menghasilkan (out come) k hasil yang berbeda dan step ke 2
menghasilkan m hasil yang berbeda, maka kedua langkaheksperimen akan
menghasilkan k x m hasil.[2]
DALIL
à Permutasi
Urutan
dipentingkan
P :
jumlah permutasi (urutannya dipentingkan)
n :
banyaknya objek
r :
jumlah anggota pasangan
! :
faktorial (3! = 3x2x1), 0!=1,1!=1
Contoh :
Ada tiga cara efektif untuk
pengobatan pasien Ca(kanker) yakni desah (B), radiasi (penyinaran=P), dan
kemoterapi (obat=O). Ada berapa carakah dapat diobati seseorang yang menderita
Ca kalau kepada masing-masing pasien hanya dua macam terapi yang bisa diberikan.
Penyelesaian :
Untuk pengobatan ini urutan
diperlukan karena seseorang yang mendapat terapi bedah dan penyinaran (B,P)
akan berbeda dengan yang mendapat penyinaran lebih dahulu baru dibedah. (P,B).
Jadi, jumlah cara yang dapat dilaksanakan
adalah (BP,BO,PB,PO,OB,OP)
DALIL
III à Kombinasi
Urutan
tidak dipentingkan
C :
jumlah kombinasi (yang urutannya tidak penting)
n :
banyaknya objek
r :
jumlah anggota pasangan
contoh :
tiga orang pasien digigit ular dan dibawa
ke puskesmas. Di puskesmas hanya tersedia 2 dosis anti racun ular. Berapa
kemungkinan pasangan yang akan diberikan 2 dosis tersebut (pasien A,B,C)?
Penyelesaian :
2 orang yang berpasangan di sini,
misalnya A dan B sama saja dengan B dan A. Jadi, di sini urutan tidak ada
artinya. Maka dalam hal ini pasangan yang terjadi adalah
Tidak ada komentar:
Posting Komentar